有効理論――エネルギーが変わると、必要な理論も変わる

標準模型からスワンプランドへ

数式を前提としない全5回の連載です。順番に読むと、量子重力につながる有効理論の条件を問う理由がわかります。

地図を見るとき、国と国の位置関係を知りたいのか、駅から店まで歩きたいのかによって、必要な細かさは違う。物理学にも、調べたい尺度に合わせて記述を選ぶという考え方がある。

それが有効理論だ。とくに場の量子論でこの考え方を使うものを、有効場の理論、略してEFTという。ある範囲の現象に必要な自由度と相互作用を取り出し、それ以外の影響を補正として組み込む。Burgessによる有効場理論の解説

低エネルギーという言葉には、比較する相手がある。新しい粒子が重要になるエネルギーをM、調べている現象のエネルギーをEとすると、EがMに比べて十分小さい状況を考える。

このとき、重い粒子を一つひとつ明示しなくても、その影響を軽い粒子どうしの相互作用へ織り込める場合がある。これを、重い粒子を「積分消去する」という。

影響が消えるわけではない。一般に、E/Mが小さいほど小さくなる補正として残る。欲しい精度に合わせて補正を順に取り入れられるため、有効理論は誤差を見積もれる計算の方法になる。Burgess, Introduction to Effective Field Theory

ベータ崩壊などの低エネルギーの弱い相互作用は、フェルミ理論で記述できる。この記述では、四つのフェルミ粒子が一点で相互作用するように扱う。

より詳しい電弱理論では、その背後にWボソンの交換がある。Wボソンの質量に比べて十分低いエネルギーでは、交換の細部をまとめて一点の相互作用として近似できる。しかし、Wボソン自体が重要になるエネルギーでは、それを明示した記述が必要だ。ATLAS実験によるフェルミ理論と電弱理論の解説

フェルミ理論は、適用範囲を超えてそのまま使い続けると問題を起こす。それでも、低エネルギーでの有用性は失われない。より詳しい理論につながることで、なぜその近似が働くのかもわかる。

標準模型についても、さらに高いエネルギーの理論から現れる有効理論として捉えることができる。ただし、「ある既知のエネルギーを超えると必ず使えなくなる」と、その境目まで確定しているわけではない。

また、電弱理論が必要になることと、標準模型が使えなくなることは別だ。電弱理論は標準模型の一部なので、電弱スケールを超えたというだけで標準模型の外へ出るわけではない。

一方、重力の量子的な効果まで重要になる領域を、重力を含まない標準模型だけで説明することはできない。通常の見積もりではプランクスケールが目安になるが、それより低いエネルギーで新しい粒子や現象が現れる可能性もある。量子重力と有効理論についての講義

ある有効理論を、その適用範囲より高いエネルギーでも整合的に記述できる理論へつなぐことを、高エネルギーでの完成（UV完成）という。「UV」は、ここでは高エネルギー・短距離の側を指す。

完成先は、低エネルギーの情報だけから一意には決まらない。逆に、見かけ上もっともらしい有効理論に、必ず完成先が存在するとも限らない。この問いが、後に登場するスワンプランド問題の入口になる。Paltiによるスワンプランドの解説

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