電子レンジの中では、何が起きる？ ― Maxwell方程式と熱伝導から加熱を計算する【レベル4：専門的に探究する】

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探究レベル4：専門的に探究する

前提知識：Maxwell方程式、複素誘電率、偏微分方程式、数値計算。第3段階で導いた発熱密度を使います。

この記事の到達目標：食品への電磁エネルギーの吸収と温度上昇を連立して記述し、再現できる計算例とモデルの限界を示せる。

電子レンジで起こる現象は、電磁場の問題であると同時に熱の輸送問題です。電磁波がどこでどれだけ吸収されるかを決める方程式と、そこで発生した熱がどう広がるかを決める方程式を接続します。以下の数値は一様媒質の教材モデルであり、特定の電子レンジの庫内測定結果ではありません。

1．周波数領域のMaxwell方程式

時間依存を \(e^{i\omega t}\) とし、非磁性・等方媒質で、導電損失を有効複素比誘電率 \(\varepsilon_{r,\mathrm{eff}}^*=\varepsilon_r’-i\varepsilon_{r,\mathrm{eff}}”\) に含めます。物質内部に外部駆動電流がない領域では、

\[\nabla\times\mathbf E=-i\omega\mu_0\mathbf H,\quad\nabla\times\mathbf H=i\omega\varepsilon_0\varepsilon_{r,\mathrm{eff}}^*(\mathbf r,T)\mathbf E.\]

第1式にcurlを作用させ、第2式を使うと

\[\boxed{\nabla\times\nabla\times\mathbf E-k_0^2\varepsilon_{r,\mathrm{eff}}^*(\mathbf r,T)\mathbf E=0},\qquad k_0=\frac{\omega}{c}.\]

これは食品の不均一な物性にも対応できる形です。庫内金属壁の境界条件、電磁波を送り込む導波管、食品と空気の境界を指定して初めて \(\mathbf E(\mathbf r)\) が決まります。良導体の理想化では壁面の接線方向電場をゼロとします。負荷のある実機の庫内電場は、単純な正弦波1本ではありません。

2．電磁場から熱への結合

温度 \(T(\mathbf r,t)\) で変わり得る有効損失係数を \(\varepsilon_{r,\mathrm{eff}}”\) としたとき、単位体積・単位時間あたりの平均吸収パワーは

\[\boxed{Q_{\mathrm{EM}}(\mathbf r,T)=\omega\varepsilon_0\varepsilon_{r,\mathrm{eff}}”(\mathbf r,T)|\mathbf E_{\mathrm{rms}}(\mathbf r)|^2}.\]

この式では電場を実効値で定義しています。電場のピーク複素振幅を代入するなら全体に \(1/2\) が必要です。また、誘電率の損失部分に \(\sigma/(\omega\varepsilon_0)\) を含めた場合、導電損失を別に足してはいけません。

熱源を \(Q_{\mathrm{EM}}\)、食品密度を \(\rho\)、比熱を \(c_p\)、熱伝導率を \(k_{\mathrm th}\) とすれば、移流や相変化を無視した熱方程式は

\[\boxed{\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}=\nabla\cdot(k_{\mathrm{th}}\nabla T)+Q_{\mathrm{EM}}}.\]

温度が変わると \(\varepsilon_r^*(T)\) が変わり、電磁場の分布と発熱量も変わり得ます。したがって精密な計算では両方を逐次的に解き直す連成問題になります。空気への熱伝達、食品表面の蒸発、潜熱、食品内部の水分移動、回転皿の運動を入れる場合はさらに式を増やします。

3．複素波数と「浸透深さ」の定義

局所的に均一で \(\mu_r=1\) とし、\(z\) の正方向へ進む平面波を考えます。時間依存を \(e^{i\omega t}\) とする約束の下で、複素波数を \(k=k_0\sqrt{\varepsilon_r^*}=\beta-i\alpha\) と書くと、電場は \(\mathbf E\propto e^{-ikz}=e^{-i\beta z-\alpha z}\) と表されます。ここで振幅減衰係数 \(\alpha>0\) です。

\[\alpha=\frac{\omega}{c}\sqrt{\frac{\varepsilon_r’}2}\left[\sqrt{1+\left(\frac{\varepsilon_r”}{\varepsilon_r’}\right)^2}-1\right]^{1/2}.\]

振幅が \(e^{-\alpha z}\) なら、電力密度はおおむね \(e^{-2\alpha z}\) に比例します。そこで電力が \(1/e\) に減衰する深さを \(D_p=1/(2\alpha)\) と定義します。文献により「振幅が \(1/e\)」の深さを使う場合もあるため、必ず定義を確認します。複雑な食品や庫内の反射があると、単一の平面波浸透深さでは温度分布を予測できません。

4．水の誘電緩和をモデル化する

単一Debye模型では

\[\varepsilon_r^*(\omega)=\varepsilon_\infty+\frac{\varepsilon_s-\varepsilon_\infty}{1+i\omega\tau},\qquad\varepsilon_r”=\frac{(\varepsilon_s-\varepsilon_\infty)\omega\tau}{1+\omega^2\tau^2}.\]

例えば説明用に \(\varepsilon_s=80,\ \varepsilon_\infty=5,\ \tau=8.0\,\mathrm{ps}\) と置くと、\(f=2.45\,\mathrm{GHz}\) では \(\omega\tau\simeq0.123\)、\(\varepsilon_r’\simeq78.9\)、\(\varepsilon_r”\simeq9.10\) を得ます。このモデルでの誘電損失係数のピークは \(f=1/(2\pi\tau)\simeq19.9\,\mathrm{GHz}\) です。したがって「2.45 GHzが水の共鳴に一致する」という説明は成立しません。ただし周波数選択には波の浸透、機器設計、周波数割当等の事情があり、損失係数のピークのみから最適値を判定できません。

実際の水の誘電応答は単一Debye模型で全周波数・温度を厳密に再現できません。Ellison (2007)は複数の緩和と共鳴を用いた広帯域の物性表現を扱い、Lunkenheimer et al. (2017)は幅広い周波数での実験的な振る舞いを検討しています。

5．数値例：均一な局所電場を仮定した発熱

食品中の小さな領域で、電場実効値を仮に \(E_{\mathrm{rms}}=1000\,\mathrm{V/m}\) とし、上の単一Debye模型の損失係数を使います。真空誘電率は \(\varepsilon_0=8.8541878128\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}\) とすると、

\[Q_{\mathrm{EM}}=(2\pi\times2.45\times10^9)\varepsilon_0(9.10)(1000)^2\simeq1.24\times10^6\,\mathrm{W/m^3}.\]

体積 \(100\,\mathrm{mL}=10^{-4}\,\mathrm{m^3}\) の水に同じ電場が一様に保たれると仮定すれば、吸収電力は約 \(124\,\mathrm W\) です。密度 \(1000\,\mathrm{kg/m^3}\)、比熱 \(4180\,\mathrm{J/(kg\,K)}\) なら、熱損失・蒸発なしの初期昇温率は \(dT/dt\simeq0.30\,\mathrm{K/s}\)。これは局所電場を入力した教材計算で、庫内の設定出力から食品への吸収を予測したわけではありません。特に食品中の電場は外部電場と同じでなく、吸収によって空間的に変化します。

次のPythonで数値を再現できます。

import math
f = 2.45e9                 # Hz
omega = 2 * math.pi * f
eps0 = 8.8541878128e-12    # F/m
eps_s, eps_inf = 80.0, 5.0
tau = 8.0e-12              # s
x = omega * tau
eps_real = eps_inf + (eps_s - eps_inf) / (1 + x*x)
eps_loss = (eps_s - eps_inf) * x / (1 + x*x)
E_rms = 1000.0             # V/m, assumed INSIDE material
q = omega * eps0 * eps_loss * E_rms**2
volume = 1e-4              # m^3
rho, cp = 1000.0, 4180.0   # kg/m^3, J/(kg K)
power = q * volume
rate = q / (rho * cp)
print(f"omega*tau = {x:.4f}")
print(f"eps'={eps_real:.2f}, eps''={eps_loss:.2f}")
print(f"Q={q:.3e} W/m^3, absorbed P={power:.1f} W")
print(f"initial dT/dt={rate:.3f} K/s")

6．数値シミュレーションを研究として成立させるには

境界条件：導波管の入力モード、金属壁、庫内形状、皿・食品の位置を指定する。
物性：食品の \(\varepsilon_r'(f,T)\)、\(\varepsilon_r”(f,T)\)、\(\rho(T)\)、\(c_p(T)\)、\(k_{\mathrm{th}}(T)\) を実測または出典付きで与える。
時間：電磁波の周期（ナノ秒以下）と加熱時間（秒以上）の大きな差を利用し、各熱計算ステップで周期定常な電磁場を解く近似の妥当性を確認する。
相変化：凍結・解凍・沸騰時は潜熱と物性の急変を扱い、単純な顕熱の式だけで推定しない。
検証：吸収電力の体積積分、温度分布、エネルギー収支と実測を比較する。設定された「600 W」と局所の吸収電力は別の量である。

代表的な工学的研究として、Tang (2015)は食品加熱と庫内モードを論じています。周波数依存を伴う厳密な計算では、分散媒質のエネルギー貯蔵項の扱いにも注意が必要です。

確認問題：発熱密度が2倍なら温度上昇率も常に2倍？

熱伝導・熱損失を無視し、物性 \(\rho,c_p\) が変わらない局所・初期の近似では \(dT/dt=Q/(\rho c_p)\) なので2倍です。実際の食品では温度勾配、蒸発、誘電物性の温度依存によって一般に比例しません。

原典と再現条件

Review on Microwave-Matter Interaction Fundamentals and Efficient Microwave-Associated Heating Strategies：誘電損失の発熱式と導電損失。
W. J. Ellison (2007), “Permittivity of Pure Water …,” Journal of Physical and Chemical Reference Data 36, 1–18：水の周波数・温度依存誘電率。
Lunkenheimer et al. (2017), “Electromagnetic-radiation absorption by water,” Physical Review E 96, 062607：広帯域誘電分光。
Tang (2015), “Unlocking Potentials of Microwaves for Food Safety and Quality,” Journal of Food Science：実機の定在波と食品加熱。

上記の数値例とPythonコードは、明記した仮定に基づくQLIの教材としての整理です。実機の温度測定値ではありません。

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アイキャッチ：QLI「キッチン」のコンセプトイラスト。

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